推荐系统中的相似度度量

Cosine

最常使用的相似度计算方法,而且总体效果较好,可以说是简单实用。数学描述如下:

cosine_define

其中 是X的模。

例如,在推荐引擎中,使用 r_ui表示User u对Item i的打分,则可以使用u对各Item打的分数的向量作为User u的兴趣爱好,则User u和User v之间的cosine相似度计算方式为:

cosine_define1

其中 I_ui 表示User u,v均投票了的item。

Cosine的几何意义为向量空间中,将待计算相似度的向量均归一化为长度为1的向量, 所有被归一化后的向量  ov的v点坐标均落在以向量0为球心,半径为1的球面上,使用二向量的夹角度量二者相似度,夹角越小,相似程度越高。

在文本处理过程中,cosine度量方式表现效果都会比较好。

Mahout中参见CosineDistanceMeasure.java

Pearson Correlation

用于度量线性关系最常用的方法, 定义 为协方差,σ为标准差, 则Pearson相关系数为:

Pearson_num

例如,使用 表示User u对Item的打分,则User u,v之间的相似度计算方式为:

Pearson_num_2

其中 表示User u,v均投票了的item,与COS的区别是考虑了投票的均值, 且分母考虑的是User u,v共同投票的Item。

很多时候,针对User的PC要比针对Item的PC效果较好,因为针对User的PC相当于对各个用户的投票Scales做了一个中心化,避免各用户对相同Item投票时,因为投票习惯不一样而导致的差异。例如:投票分值分[1,5]档,有些人投4表示非常喜欢, 而有些人会投5表述相同的喜好程度。

PC的缺点如下:

  1. 如任意User仅投票了一个元素, 则无法使用该公式计算。
  2. 如任意User的每个投票分值均一样, 则无法使用该公式计算。
  3. 计算时没有考虑投票的总数量, 例如User u投票了200 Items,而v仅投票了2Items,则最后有可能还是v与待比较User近似。

另外PC也经常用作序列趋势的相近程度度量。在检索,推荐系统中经常需要考虑检索结果及推荐商品的季节因素,例如根据往年某一商品的季节特征,预测类似产品的接下来的流行程度。 下图分别为检索词‘吴莫愁’,‘梁博’,‘滑雪’在过去3个月的搜索PV,使用PC度量,很容易得到检索词‘吴莫愁’与‘梁博’的相似度远远大于‘梁博’与‘滑雪’的相似度。

tread_liangbo_wumochou

Mahout中参见PearsonCorrleationSimilarity.java

Spearman Rank Correlation(SRC)

Spearman Rank Correlation和Pearson Correlation非常类似, 只是SRC没有考虑对User对某具体Item的投票,而是考虑Item 在User所有投票中的相对Ranking。其数学表示为:

SRC

其中 k_ui表示User u对Item的投票值在User u所有投票中的Ranking。

SRC的优点是能够避免每个用户因投票习惯不一致带来的误差, 缺点是计算开销较大(每次计算都需要进行排序)

Mahout中参见SpearmanCorreleationSimilarity.java。计算复杂度较高。

Simple Matching Coefficient

imple Matching Coefficient

仅考虑数据为二值的情况(0,1)。 如果数据非二值, 则将数据转化为为二值。定义M01为u中属性为0,但v中属性为1的数量,M00表示u,v中属性均为0的数量,M10,M11同理。则SMC定义如下:

SMC

例如u=[1,1,0,0],v=[0,1,1,0],则SMC=2/4=0.5

Jaccard Coefficient

与SMC计算方式类似,但具体运算公式如下:

JC

即仅考虑两个向量中,同一维度上值均为1的数量。该相似度度量公式在文本匹配中也较为常用, 比如在计算两个短字串的相似度时,首先将字符串切词,找到更细粒度的切词结果term,之后以不同的term作为不同维度的属性,使用JC计算相似度。

Extented Jaccard(Tanimoto)

extend_JC

 

距离度量方式

该度量方式是最直观的度量方式,一般使用曼哈顿,欧几里得距离度量,而更为广义的是闵科夫斯基度量方式。以Euclidean Distance为例:

欧几里得距离计算公式

可简单转化为相似度则表示为:

欧氏距离转相似度

在Mahout中参见以下实现:

EuclideanDistanceMeasure.java

ManhattanDistanceMeasure.java

ManhalanobisDistanceMeasure.java

其他内容

为了提高运算速度, Mahout中实现了CachingUserSimilarity.java来缓存两User/Item的相似度计算结果。

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